Plan for uke 3, MAT112, vår 2011
Husk å sjekke opp fremdriftsplanen på
http://uib.no/People/st00895/MAT112-V11/plan.html
hvor dere også finner øvingsoppgavene. Husk at øvingsoppgavene som hører til stoffet i uke n gis til gruppene i uke n+1. (Passe nerdete måte å si det på). Imidlertid bør dere begynne på oppgavene allerede i uke n.
Grovt sagt kan vi dele pensum i MAT112 i fire hoveddeler:
(1) Grunnleggende teori for matematisk analyse, nærmere bestemt
kompletthetsaksiomet for de relle tallene, følger og kontinuitet (APP. III), Uniform kontinuitet (APP. IV + notat) og Riemannintergrerbarhet (APP. IV).
(2) Følger og rekker (KAP. 9)
(3) Parametriserte og polare kurver (KAP. 8)
(4) Romgeometri og funksjoner av flere variable (KAP. 10,12,13)
Erfaringsmessig er det delene (1) og (2) som faller vanskeligst og som krever mest modning og vi begynner derfor med disse delene.
Tema: Følger (9.1), kompletthetsaksiomet og kontinuitet (App. III)
TIRSDAG:
Følger (9.1).
- Introduksjon. Merk at en følge egentlig ikke er annet enn en funksjon definert kun på de naturlige tallene 1,2,3,4,....osv.
- Grense og konvergens. Merk likheten med vanlige funksjoner definert på hele tallinjen.
- Eksempler og en del regler.
- Spesielt viktig resultat (i boks på side 500, evt. Teorem 2 i App. III): Monotone begrensede følger konvergerer.
Merk at matematisk induksjon er en viktig teknikk i bevis som omhandler følger (se f.eks. Eks. 8). Det er derfor viktig at dere repeterer dette fra MAT111-pensum, om dette ikke sitter. Siden jeg lenker til inneholder også et eget notat om induksjon fra MAT111 med eksempler og oppgaver.
ONSDAG: Kompletthetsaksiomet og kontinuitet (App. III)
- Definisjon av øvre skranke, minste øvre skranke,
nedre skranke, største nedre skranke for en mengde reelle tall.
- Viktig egenskap for de relle tall: Kompletthetsaksiomet. Flere viktige resultater fra analyse bygger på dette aksiomet.
- Bevis for at monotone begrensede følger konvergerer (9.1) vha. kompletthetsaksiomet.
- Bevis for tre viktige setninger om kontinuerlige funksjoner fra MAT111-pensum vha. kompletthetsaksiomet:
- Begrensningsteoremet (Teorem 5)
- Ekstremalverdisetningen ("Maks/min-teoremet") (Teorem 6)
- Skjæringssetningen (IVT, "Mellomverdisetningen") (Teorem 7)
- Om litt (i APP. IV) skal vi også se at Kompletthetsaksiomet
spiller en helt sentral rolle i teorien om Riemannintegralet.
De viktige egenskapene for kombinasjoner av kontinuerlige funksjoner Teorem 1 er kjent fra MAT111 og jeg ber dere selv repetere dette, bl.a. se på beviset.
NB! Til dere som har 6. utgave av boken: Som i 7. utgave kommer jeg til å bruke notasjonen sup (S) for minste øvre skranke til en mengde S og inf (S) for største nedre skranke til en mengde S. Denne notasjonen står ikke nevnt i 6. utgave.
Oppdatert 17/01/11
Andreas Leopold Knutsen