Geometrisk integrasjon

Numerisk integrasjon av differensiallikninger er et forskningsfelt innen numerisk analyse, der målet er å lage gode numeriske metoder for å beregne tidsutviklingen til systemer av differensiallikninger. Dette er et viktig hjelpemiddel i alle simuleringer av tidsutviklingen av dynamiske systemer og fysiske prosesser.

Tradisjonelt har man mest vært opptatt av å lage numeriske integrasjonsmetoder som er numerisk stabile, og der feilen er minimal i en gitt norm.

I de senere årene er man blitt mer opptatt av at kvalitative egenskaper til integrasjonsmetodene er viktigere enn størrelsen på feilen. Et eksempel på dette er integrasjon av Hamiltonske likninger. Slike likninger beskriver mange energibevarende fysiske system, slik som solsystemets dynamikk og bevegelsen til partikler i en akselerator. Hamiltonske likninger har fundamentale geometriske egenskaper som det er viktig å bevare i en numerisk simulering. Energibevarelse og bevarelse av den symplektiske struktur er viktige kriterier i design av gode integratorer for slike system http://en.wikipedia.org/wiki/Symplectic_integration.

I Geometrisk Integrasjon (http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_integration) er vi mer generelt opptatt av å bevare viktige geometriske egenskaper til gitte klasser av differensiallikninger. I konstruksjon og analyse av geometriske integrasjonsmetoder benytter vi mange ideer fra differensialgeometri.

Forskningsaktiviteten innen Geometrisk Integrasjon i Bergen startet rundt 1995 med de første artiklene som systematisk etablerte teorien for Lie gruppe integratorer. En Lie gruppe er en kontinuerlig transformasjonsgruppe som virker på løsningsrommet til differensiallikningene. Et enkelt eksempel er en likning som beskriver en bane på en kuleoverflate. Her kan vi benytte rotasjoner til å oppdatere den numeriske løsningen fra ett tidspunkt til det neste. Dermed oppnår vi at den numeriske løsningen garantert vil utvikle seg på kuleflaten. Klassiske metoder for tidsintegrasjon, slik som f.eks. Runge-Kutta metoder kan generaliseres til generelle Lie grupper. Vi får tilbake de klassiske metodene ved å la gruppevirkningen være translasjoner på Rn. Utfordringen i teorien for generelle Lie gruppe integratorer består i at teorien blir mer komplisert enn den klassiske teorien når gruppevirkningen ikke er kommutativ, slik som f.eks. for gruppen av rotasjoner på en kuleflate. Gjennom et nært samarbeide med Cambridge og NTNU har vi etablert en systematisk teori for Lie gruppe integratorer, og utviklet praktiske metoder som er beregningsmessig effektive.

Ved å velge gode gruppevirkninger kan man lage numeriske metoder som har gode geometriske egenskaper. Dette gir nye muligheter for design av numeriske metoder. Ved å velge en Lie gruppe virkning som bevarer viktige dynamiske egenskaper (f.eks. Casimir funksjoner, eller geometriske føringer) oppnår man gode geometriske integrasjonsmetoder. Disse metodene har funnet anvendelser innen simulering av dynamiske systemer, bildebehandling og kontrollteori.

Interessert? Ta gjerne kontakt med Hans Munthe-Kaas eller Antonella Zanna.