På jakt etter den beste matematiske modell for bølger

De første studiene innenfor bølgemodellering ble utført av Stokes i 1847. Han utviklet noen løsninger som tilnærmet periodiske bølger og foreslåtte formodninger om deres atferd på dypt vann. I dag er disse løsningene kjent som Stokes-bølger. Stokes la grunnlaget for en teori som har etter hvert blitt en klassisk del av moderne fluidmekanikk.

Etter at Stokes publiserte sine resultater, begynte forskere jakten på de beste matematiske modeller for bølger. Euler-systemet kan beregne bølgepropagering. Ved å løse dette systemet får man en fullstendig forståelse av strømningsdynamikken. Men det er vanskelig å løse og gir mer informasjon enn det trengs for noen applikasjoner. I løpet av det siste århundre utviklet forskere ulike matematiske modeller i form av enkle ligninger, som kunne beskrive atferden til bølger. Disse modeller er kjent som ikke-lineære dispersive vannbølgeligninger. Et eksempel er den kjente Korteweg-de Vries-ligningen.

Avhandlingen presenterer forskning om derivasjon av vannbølgeligningene og deres egenskaper. Vannbølgeproblemet har Hamilton-formulering som gjør det mulig å derivere enkle modeller. Hovedfokuset her er på forskjellige skaleringsregimer. Ved å velge et passende regime kunne vi utvikle en formell matematisk avledning for Whitham-ligningen.

En stor del av manuskriptet er dedikert til forskning av stabiliteten til løsninger og presisjon i beskrivelse av bølgens profil. Vi utviklet en numerisk metode som kan løse vannbølgeligningene i generell form. Metoden kan også beregne spesifikke typer av periodiske bølger. Dette la oss eksperimentere med forskjellige modeller og få interessante resultater. Det har blitt bekreftet for eksempel at Whitham-ligningen gir mest nøyaktig bølgeprofil i en rekke av parameterinnstillinger.

Personalia:
Daulet Moldabayev (f. 1986) er oppvokst i Astana, Kasakhstan. Han fikk spesialisering i matematikk ved Lomonosov Moscow State University (Moskva, Russland) i 2009. I 2011 fullførte han mastergrad i matematisk modellering under Erasmus Mundus MathMods-programmet. Daulet begynte som doktorgradsstipendiat på Universitetet i Bergen i 2013. PhD-studiene var veiledet av professor Henrik Kalisch.