Burnside-Witt ringer.

Forutsetninger : MAT220. 

Beskrivelse : Dette prosjektet går ut på å studere en bestemt sammenheng mellom (endelige) grupper og kommutative ringer. 

Enhver endelig mengde kommer med et naturlig tall, nemlig antallet av elementer i mengden. Omvendt kan de naturlige tall konstrueres ut fra endelige mengder. Ved å sette alle mengder med samme antall får vi de naturlige tall. Bemerk at to endelige mengder har samme antall elementer hvis og bare hvis det fins en bijektiv avbildning mellom dem. Multiplikasjon av naturlige tall svarer til kartesisk produkt- og addisjon svarer til union av mengder. Gitt en endelig gruppe G kan vi se på endelige G-mengder, det til sige endelige mengder som gruppen G opererer på. Vi kan konstruere en tallmengde ved å sette to endelige G-mengder lik dersom det fins en bijeksjon fra den ene til den annen som er kompatibel med G-operasjonene. Hvis G er den trivielle gruppe med et element har vi bare gjentatt konstruksjonen av de naturlige tall. På samme måte som vi konstruerer ringen av hele tall ut fra de naturlige tall kan vi konstruere en ring ut fra denne nye tallmengde. Denne ring kalles Burnside ringen. Vi skal generalisere Burnside ringen til en konstruksjon kaldt Burnside–Witt ringen. Når vi har konstruksjonen på plass skal vi se at det karakteristiske polynom fra lineær algebra kan oppfattes som et element i en bestemt Burnside–Witt ring. Faktisk skal vi se at Burnside–Witt ringen gir informasjon om linear algebra over vilkårlige kommutative ringer. Der er flere måter å avslutte prosjektet på. En mulighet er å utlede formler fra klassisk kombinatorikk fra egenskaper av Burnside– Witt ringen. En annen mulighet er å lage eksplisitte beregninger av Burnside–Witt ringer. Endelig er det mulig å slutte av med å gå dypere inn i konstruksjonen av Burnside–Witt ringen og generalisere den. 

Selv om Burnside–Witt ringen ikke skulle bli brukt i det videre studium, er metodene i dette projekt viktig innenfor både algebraisk geometri og topologi. Dersom det ønskes kan prosjektet føres nært til aktiv forskning. Innenfor algebraisk geometri brukes Burnside– Witt ringen til å studere fenomener i positiv-karakteristikk. I den algebraiske topologi er Burnside–Witt ringen tett knyttet til algebraisk K-teori. 

Hva lærer du: 

(1) gruppeteori (Burnsides formel etc. se Fraleigh’s bok som brukes i MAT220) 

(2) linear algebra over kommutative ringe (K-teori av endomorfier) 

(3) kombitonarikk (Möbius inversjonsformel) 

Referanser 

[1] B. Dayton, Ghosts and Necklaces.

[2] A. Dress, C. Siebeneicher The Burnside ring of profinite groups and the Witt vector construction. Adv. in Math. 70 (1988), no. 1, 87–132.(doi:10.1016/0001-8708(88)90052-7)