Masteroppgaver

Her skal komme en liste med forslag til masteroppgaver. Bjørn har allerede laget noen, men resten av gruppen burde også komme med forslag.

• Høyere ordens syklisk homologi. I forbindelse med sin ikkekommutative geometri introduserte Connes syklisk homologi. Når input likevel er kommutativt (i en passende generalisert forstand) skjer det mange spennende ting. Blant annet er det en formodning om at man klatrer det kromatiske tårnet: "primtallsfaktoriseringen til sfærespekteret".

  Spørsmålene som blir tatt opp i denne oppgaven vil knyttes mot et prosjekt jeg har med Brun (Bergen), Carlsson og Douglas (Stanford). Alexander Lundervold skrev våren 2007 en hovedoppgave innen dette temaet.

  Bl.a. kan det bli aktuelt å studere den rent algebraiske strukturen som fremkommer fra høyere ordens deRham-Witt-komplekset.

• Geometrien til 2-vektorbunter En vektorbunt er et rom der hvert punkt erstattes med et helt vektorrom på en pen og kontinuerlig måte. I forbindelse med kvantefeltteorier er vektor bunter og deres geometri viktige, men det viser seg at også finere strukturer er av betydning. I den forbindelse har Baas (NTNU), Richter (Hamburg), Rognes (UiO) og jeg et oppsett for "2-vektor bunter". Der er vektorrom byttet ut med 2-vektorrom. Akkurat som en vektor er et tupel av tall er en 2-vektor et tupel av vektorrom, og matriser av tall byttes ut med matriser av vektorrom. Det overraskende er at dette gir opphav til en teori knyttet til kvantefeltteorier og til "primtallsfaktoriesringen av sfærespekteret".

  En mangel i forbindelse med anvendelsen til kvantefeltteori er at geometrien for 2-vektorbunter ikke er utviklet. Dette er ikke et enkelt spørsmål, for eksempel har man ikke en god formening om hva krumning skal bety, man har ingen indeksteori og man mangler man helt en teori for determinanter for 2-vektorrom, og problemer i denne forbindelse er interessante nok i seg selv. Noen av spørsmålene vil kreve en del differensialgeometri.

• Symmetriske produkter. Utgangspunktet for denne oppgaven vil være et studium av et konkret rom: det "nte symmetriske produktet av tori". Disse rommene er viktige innen algebraisk geometri såvel som algebraisk topologi og hvilke aspekter som vektlegges kan i noen grad velges av studenten. Den sammenhengen vi her skal sette disse rommene i er gruppevirkninger. Om en algebraisk vinkling velges bør MAT321 følges og et samarbeid med gruppen for algebra vil være naturlig.
• Tensor, trase og komposisjon Produktet i en kommutativ ring kan tenkes på på (minst) to måter, noe man ser dersom man går til matriser. På den ene siden har du vanlig matrisemultiplikasjon og på den andre har du tensor av matriser. Disse konstruksjonene er knyttet gjennom trasen. Disse to operasjonene gir opphav til forskjellige konstruksjoner med hver sine fordeler (men som altså faller sammen i det en-dimensjonale tilfellet), og oppgaven vil gå ut på å sammenligne disse, spesielt med tanke på å avklare spørsmål i algebraisk K-teori.
• Subdivisjon, simplekser og symmetrier. Oppgaven handler om å utvikle en kombinatorisk velegnet oppdelingsalgoritme fra ren matematikk for bruk innen numerikk eller geometrisk modellering. Spesielt med tanke på problemstillinger med viktige symmetriegenskaper. Det er ingen spesielle forutsetninger for å kunne ta denne oppgaven. Det kan være en fordel om man har noe trening i algebra eller topologi. Et samarbeid med numerikkgruppen vil være naturlig (mer utfyllende, men litt gammel informasjon finner du her)