6. Lie-algebraer

Lie-algebraer er en grunnleggende ikke-kommutativ algebraisk struktur som er knyttet til symmetrier. Den enkleste interessante Lie-algebraen møter du allerede i videregående skole. Det er vektorene i rommet med kryssproduktet. Men dette er bare det aller første eksempelet i en av flere familier av de såkalte simple Lie-algebraene.

I Lie algebraer kan man addere og subtrahere fritt og så har man en multiplikasjon × som oppfyller:

• a × b = - b × a
• a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Lie-algebraer er av fundamental betydning i matematikken og i teoretisk fysikk. På mange måter kan man si at Lie-teorien er den akse som mye av matematikken og den teoretiske fysikken svinger rundt. Det er ikke urimelig å si at i matematikken finnes der tre gudegitte strukturer, det er de naturlige tallene, sfærene av varierende dimensjoner, og de såkalte simple Lie-algebraene. Studiet av Lie algebraer ble påbegynt av Sophus Lie på 1870-tallet og klassifikasjonen av de simple Lie-algebraer ble fullført i 1895 av W. Killing, i en artikkel som senere er blitt kåret til "the greatest mathematical paper of all times".