Matematisk beskrivelse av vannbølger og deres egenskaper

Den enkleste måten å tenke på vannbølger er å forestille seg selv stående ved kanten av en dam og kaste en stein midt i dammen. Du vil sikkert se mange krusninger på vannoverflaten som beveger seg bort fra stedet der steinen landet. Dette ligner på det som skjer når vinden genererer bølger. Bølger beveger seg ved å overføre energi i en syklisk bevegelse gjennom vannet. Bølgebevegelsen er ikke en vannstrøm, men snarere en strøm av energi.

Bølger er delt opp i grupper, avhengig av deres matematiske egenskaper og hvordan de dannes. Dypvannsbølger føler ikke havbunnen i det hele tatt, derfor styres hastigheten av lengde og periode. For gruntvannsbølger er vanndybden mye mindre enn bølgelengden, derfor er deres hastighet styrt av dybde. Denne naturlige forekomsten kan idealiseres matematisk ved å formulere lineære og ikke-lineære teorier for å beskrive bølgeutbredelse. Den lineære teorien om tyngdebølger på overflaten som har vært den grunnleggende teorien for dypvannsbølger, er ikke en gyldig beskrivelse av gruntvannbølger. Derfor er høyere ordens bølgeteorier påkrevd for å beskrive bølgefenomenene.

Denne avhandlingen er spesielt fokusert på hydrodynamikk for gruntvann. De viktige modellene er Serre-Green-Naghdi-systemet (SGN) og Korteweg-de Vries-ligningen (KdV). En systematisk utledning av masse-, moment-, energi- og tangenthastighet på fri overflate er oppnådd for SGN-systemet. Dessuten finner vi at partikkelen forbundet med SGN-systemet opplever en drift bakover som er i konflikt med Stokes-driften i lineær teori.

Havbølger som sprer seg på kysten, opplever en minkende vanndybde som forårsaker betydelige endringer i bølgeformen. Disse endringene i vannbølger er på engelsk kjent som ”wave shoaling”. En del av denne avhandlingen har vært viet til å beregne bølgehøyde av en periodisk løsning av KdV-ligningen. Resultatene for variasjon av bølgehøyde følger direkte av den numeriske simuleringen, og er mer nøyaktige enn klassiske resultater basert på teori.

Personalia
Zahra Khorsand (f. 1975) vokste opp i Tehran, Iran. I 1997 fullførte hun en bachelorgrad i ren matematikk og begynte å jobbe som mattelærer på videregående skole. Hun tok en master grad i ren matematikk i 2002 og jobbet som foreleser i Azad Universitetet i Iran fra 2003 til 2010. Zahra fullførte en mastergrad i anvendt og beregningsorientert matematikk og begynte som doktorgradstipendiat ved Universitetet i Bergen i 2012. Hun har vært veiledet av professor Henrik Kalisch.