KdV-hierarkier og integrabilitet

Forutsetninger : MAT213, MAT251, MAT236, samt kursene MAT211, MAT234, MAT253 som kan leses parallellt.

Fokus for prosjektet er den komplette integrabiliteten av KdV-ligningen.

Beskrivelse: Det mest kjente "prototype" integrerbare systemet, dukket opp i 1967 (Gardner, Greene, Kruskal, og Miura) der de løser den berømte KdV-ligningen. Lax (1968) viste at KdV-ligningen er ekvivalent med den såkalte "isospektrale integrabilitetsbetingelsen" for et par av lineære operatorer, kjent som Lax-par. Det viste seg at KdV-ligningen har et tellbart antall bevarte størrelser (førsteintegraler). KdV-ligningen selv dukker opp som tredje evolusjonsligning i hierarkiet som genereres av disse integralene sett på som Hamiltoneren (Zakharov, Faddeev, 1971). Studentene skal lære definisjoner for klassisk Liouville-integrabilitet i forbindelse med bevarte størrelser for KdV-ligningen. Det er en del av dette prosjektet å bygge KdV-hierarkiet.

Referanser:

[1] V.I. Arnold, Mathematical methods of classical mechanics, Springer-Verlag New-York, 1989.
[2] V. Zakharov, L. Faddeev, The Korteweg-de Vries equation is a fully integrable Hamiltonian system, Funct. Anal. Appl. 5, 280-287 (1971)
[3] P. Lax, Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves, Comm. Pure Appl. Math. 21 (1968), 467-490.