Loewner- og Loewner-Kufarevligninger

Forkunnskaper : MAT231, samt kursene MAT211, MAT214, MAT234 som kan leses parallellt.

Fokus for prosjektet er studiet og utledningen av Loewner-Kufarev-ligningene som PDE og reduksjon til ODE via metoden med karakakteristiske kurver.

Beskrivelse: Prosjektet omfatter emner fra kompleks analyse og differensiallikninger. En av de berømte beskrivelsene av utvidelse av definisjonsmengden (domain growth) er den såkalte Loewner-underordningskjeden og den analytiske formen den tar, gitt ved Loewner-ligningen. Studentene vil bli bedt om å utlede denne ligningen i partielle deriverte. Et av problemene å studere er å løse denne førsteordens PDE ved hjelp av metoden med karakeristiske kurver. Den første delen er enkel: løsningen eksisterer alltid (gitt initialbetingelsene til den opprinnelige). Den ikke-trivielle delen er at løsningen ikke alltid er univalent. Studentene skal undersøke når alltid univalente løsninger eksisterer.

Referanser:

[1] Ch.Pommerenke, Univalent functions, Vandenhoeck et. Ruprecht GmbH et. Co KG, 1974. (MR)
[2] P.Duren, Univalent Functions, Springer-Verlag, New York, 1983.