K-teori

Forkunnskaper : MAT220 er helt nødvendig, og det er mulig å lave opplegg som avhenger kun av dette. For den algebraiske varainten antydet over må du ha MAT224. For den topologiske varianten må du enten ha tatt eller følge MAT243 parallelt med prosjektet.

Beskrivelse : Denne overskriften omfatter et vidt spekter av oppgaver som er relevant for de metodene som benyttes av topologigruppens medlemmer. K-teori tar utgangspunkt i det banale faktum at der er ikke kanonisk valg av basis: lineær-algebraens hengemyr. På tross av, eller kanskje akkurat på grunn av, K-teoris trivielle utspring, har teorien vært et viktig - og elegant - verktøy for å behandle spesielt komplekse matematiske system.

Den moderne angrepsmåten er å ta det kombinatoriske problemet og kode det ned i et rom. Dette rommets egenskaper gjenspeiler det opprinnelige problemet, men er åpen for at vi kan deformere rommet – uten å miste informasjon! På den måten kan vi oppnå resultater som den opprinnelige konteksten var for “stiv” til å la oss nå frem til.

Den presise utformingen av oppgaven vil avhenge av studenten, og kan beveges i algebraisk eller topologisk retning. I den algebraiske retningen er det tallteori som står i fokus, i den topologiske er det bunter.

Hva lærer du:

1. Algebraisk retning: grunnleggende algebraisk K-teori, med spesielt fokus på lavere K-teori og anvendelser i algebra.
2. Topologisk retning: du innføres i et kraftig verktøy for å studere topologiske rom, og spesielt bunter over disse.

Referanser:

[1] Algebraisk retning: Milnor, John Introduction to algebraic K-theory. Annals of Mathematics Studies, No. 72. Princeton University Press, Princeton, N.J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1971. xiii+184 pp.
[2] Topologisk retning: Atiyah, M. F.K-theory. Notes by D. W. Anderson. Second edition. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. xx+216 pp. ISBN: 0-201-09394-4.