Klassiske problemer

 

De gamle grekerne klarte ikke å finne en metode for å tredele vilkårlige vinkler med kun passer og linjal. Etter et par tusen år, nærmere bestemt mot slutten av 1800-tallet, kunne man endelig bevise at tredelingen av vinkelen med passer og linjal ikke er mulig generelt. Beviset involverer både abstrakt algebra og matematisk analyse. Lignende teknikker fra algebra og såkalt gruppeteori gjorde at vår kjente og kjære Niels Henrik Abel beviste i 1824 at den generelle femtegradsligningen ikke hadde en løsningsformel ved rotuttrykk, i motsetning til f.eks. løsningsformelen for andregradsligningen.

Det kanskje mest berømte matematiske problemet i historien er Fermats siste sats. I 1637 formulerte den franske matematikeren Pierre de Fermat følgende sats:

Hvis et heltall n er større enn 2, da har ligningen a ⁿ + b ⁿ = c ⁿ ingen løsninger blant hele tall a, b og c forskjellig fra null.

Fermat skrev, i sin egen utgave av Arithmetica av Diophantus (se bildet), "Jeg har et virkelig flott bevis for denne satsen som margen er for liten til å kunne inneholde". Etter Fermats levetid forsøkte flere og flere matematikere å finne et bevis for denne satsen, men det viste seg å være vanskelig. Problemet, om enn så enkelt å formulere, utviklet seg til et av de mest intrikate og enigmatiske problemene som noen gang har blitt skapt. Et enormt antall gale bevis for satsen har blitt produsert. Et korrekt bevis, som involverer idéer fra flere fagfelt innen ren matematikk, som tallteori, algebra og algebraisk geometri, ble funnet etter 357 år, i 1995, av den engelske matematikeren Sir Andrew Wiles.

I år 1900 presenterte Hilbert på den internasjonale matematikk kongress en liste med 24 uløste matematiske problemer. Disse problemene formet matematikken i det tyvende århundre. De fleste er nå løst, men spesielt Riemannhypotesen som formoder en sammenheng mellom fordelingen av primtall på talllinjen og nullpunkter til en bestemt funksjon er fremdeles det viktigste uløste matematiske problemet. Igjen i år 2000 ble det av the Clay Mathematics Institute gitt ut en liste med syv store uløste matematiske problemer. Denne gang med en premie på en million amerikanske dollar for å løse hvert av problemene.

Seks av problemene er fremdeles ikke løst, men Poincarés formodning ble løst av den russiske matematikeren Grigori Perelman i 2003. Den går kort fortalt ut på følgende: Den todimensjonale kuleflaten har den pene egenskapen at en strikk rundt den kan forminskes til et punkt uten at hverken kuleflaten eller strikken brytes. Dette er ikke tilfellet med en strikk viklet om en torus, det matematiske begrepet for en "smultring". Man kan vise at den todimensjonale kuleflaten (og deformasjoner av denne) er den eneste todimensjonale flate med den egenskap at en strikk rundt den kan forminskes til et punkt uten at hverken flaten eller strikken brytes. Den franske matematikeren Henri Poincaré spurte i 1904 om den tredimensjonale kuleflaten bestående av alle punkter like langt fra origo i et firedimensjonalt euklidsk rom (og deformasjoner av denne) er den eneste tre-dimensjonale flate der enhver strikk kan forminskes til et punkt uten å brytes. Perelman viste at svaret er "Ja". Beviset inneholder idéer fra flere fagfelt innen ren matematikk som analyse, topologi og differensialgeometri.