Interaksjon mellom bølger i fluidmekanikk

I denne avhandlingen konstruerer vi en vilkårlig sum av solitoner (bølger som beveger seg uten å bli deformert) med ulike hastigheter innenfor rammen av den såkalte fractional Korteweg-de Vries typeligningen (fKdV). fKdV-ligningen er en enklere modell som kan hjelpe oss å forstå den mer generelle ligningen for beskrivelsen av bølger. Faktisk er ligningene som beskriver deformasjonen av væsker veldig komplekse, og det er lettere å jobbe med ligninger som heller modellerer en bestemt type bølge. Vi forbedrer også de kjente resultatene på solitonen til fKdV-ligningen. Dette lar oss konstruere to solitoner som beveger seg med "samme hastighet", også kjent som en dipolløsning.

Solitonene ble oppdaget av John Scott Russell. Han observerte en hestetrukket båt i en kanal i 1834 for å finne den beste formen for båtene. Da stoppet hestene plutselig og båten gjorde samme. Fra båten skaptes det en vannbølge som begynte å bevege seg uten å deformeres. Han fulgte denne bølgen i flere kilometer før den forsvant.

På 1960-tallet oppdaget Zabusky og Kruskal at på samme måte som atomer er byggesteinene i det vi er laget av, er solitoner byggesteinene til bølger. Hver tilstrekkelig regelmessig bølge brytes ned som en sum av solitoner, denne dekomponeringen kalles: oppløsning i soliton. Dessuten oppdager de at når to solitoner kolliderer, beholder de sin opprinnelige form etter kollisjonen. Dette fenomenet kalles: elastisk kollisjon. Tiltross for at solitonene er oppdaget i grunt vann sammenheng, dukker de naturlig opp i forskjellige felt som biologi (for å beskrive forplantningen av et gen i en populasjon, bevegelse av en celle), kvantemekanikk (for overføring av informasjon via optisk fiber) eller fluidmekanikk (tsunami modellering). Derfor er det ekstremt interessant å forstå løsninger som oppløses i solitoner for forskjellige problemer.

Resultatene som er oppnådd i denne avhandlingen er et første skritt mot å forstå oppløsning i solitoner og elastisk kollisjon.

Personalia

Arnaud Eychenne har mastergrad i ren matematikk fra universitetet Paris-Saclay (2018). Han har gjennomført sitt doktorgradsarbeid ved matematisk institutt, Universitetet i Bergen. Avhandlingen er gjennomført under veiledning av Didier Pilod (UiB).