Ligninger i fluid- og kontaktmekanikk

Denne avhandlingen består av to deler: fluid- og kontaktmekanikk. Selv om fagfeltene studeres separat, kan de kobles gjennom bølge-struktur-interaksjoner som er viktige for blant annet maritim fornybar energi og modellering av issmelting i Arktis. Første del omhandler frie randproblemer, mens den andre randbetingelser, dermed krever analysen delvis ulike matematiske teknikker.

Forskning på fluidmekanikk startet på 1700-tallet da Euler introduserte en modell som beskriver væskedynamikk. Vannbølger studeres gjerne med asymptotiske modeller som fanger spesifikke fysiske egenskaper, da det oftest forenkler analyse og numerikk. Vi studerer ikke-lineære dispersive partielle differensialligninger (PDEer), hvor dispersjon betyr at bølger sprer seg romlig over tid. Slike ligninger oppstår også i f.eks. optikk og plasmafysikk. Et nøkkelspørsmål innen matematisk analyse, anvendt matematikk og teoretisk fysikk er: Hvordan blir initialdata propagert av ikke-lineære PDEer? Dette er viktig for å sikre entydige og stabile løsninger, også ved tilnærmede data – som er avgjørende i numeriske anvendelser. Vi viser her at dispersjon kan utnyttes for å oppnå forlenget eksistenstid for løsningene.

Avhandlingens andre del omhandler variasjonsulikheter i kontaktmekanikk, et felt som kan spores til Hertz på 1800-tallet og med anvendelser i ingeniørfag, biologi og geovitenskap. Slike ulikheter brukes f.eks. til å studere deformasjon av objekter. Vi ser på modeller med randbetingelsene friksjon og adhesjon. Adhesjon beskrives av en ikke-lineær ligning og er relevant for lagdelte berg og i biologi. Tidligere arbeid brukte avskjæringsfunksjoner for å studere adhesjon. For å inkludere de fulle ikke-lineære adhesjonsligningene forenklet vi problemet til antiplan skjærkonfigurasjon. Modellen dekker fortsatt viktige fysiske fenomener som normalforkastning og visse sprekkdannelser. Vi viser her eksistens av en entydig løsning til en klasse av variasjonsulikheter med ikke-lineære randbetingelser.

Personalia

Nadia Skoglund Taki er doktorgradskandidat ved Matematisk Institutt på Universitetet i Bergen. Hun har tidligere tatt en master i anvendt og beregningsorientert matematikk ved samme universitet. Veilederne for doktorgradsprosjektet hennes har vært Sigmund Selberg og Florin A. Radu.