Cellulære resolusjoner av monomialidealer

Forutsetninger: MAT220, MAT221, MAT224. Kurset MAT242 kan også være nyttig men prosjektet kan godt gjøres uten dette.

Beskrivelse: For et ideal I i en polynomring S = k[x₁, ..., x_n] kan man lage en resolusjon. Dette er en lang eksakt sekvens

(1) 0 ← I ← ⊕_i∈ℤ S(−i)^β_0,i ←^d₁ ⊕_i∈ℤ S(−i)^β_1,i ←^d₂ ··· ←^d_n ⊕_i∈ℤ S(−i)^β_n,i

der alle leddene unntatt I er frie moduler. Denne kalles minimal om matrisene som representerer avbildningene d_p bare har posisjoner der elementene er enten null eller har positiv grad. For minimale resolusjoner blir tallene β_p,i entydig bestemt. De er viktige invarianter for I og kalles de graderte Betti-tallene til I. Hvis nå I er et monomialideal, dvs. at generatorene til I er monomer x^a₁·x^a₂···x^a_n, så kan slike resolusjoner ofte beskrives som en cellulær resolusjon. Dvs. at der er et topologisk cellekompleks C bygget opp av punkter C₀, linjestykker C₁, polygoner C₂, tredimensjonale celler C₃ osv., der de monomiale generatorene til idealet I er i 1-1 korrespondanse med punktene i C₀. Utifra dette kan man lage et kompleks av S -moduler (1) der Σ_i β_p,i er lik antall celler av dimensjon p. Det som er utfordrende er for et gitt sett med monomialgeneratorer, å finne et topologisk cellekompleks slik at det assosierte kompleks av S -moduler (1) blir en eksakt sekvens.

Vi er interessert i å beregne resolusjoner for forskjellige monomialidealer i 2, 3 og 4 variable (dette finnes det f.eks. gode dataprogrammer for), og så undersøke om vi kan finne topologisk cellkomplekser som kan beskrive denne resolusjonen cellulært.

Referanser:

[1] D.Bayer, I.Peeva, and B.Sturmfels, Monomial resolutions. Math.Res.Lett. 5 (1998) no.1-2, pp. 31-46.
[2] E.Miller, B.Sturmfels, Combinatorial commutative algebra, GTM 2005, Springer-Verlag, 2005.
[3] R.Stanley, Combinatorics and Commutative Algebra, Second Edition, Birkhäuser 1996.